蔡元培留学的原因主要有以下几点：

教育救国的理想：

蔡元培抱有教育救国的理想，认为德国是当时哲学和教育学最发达的国家，希望通过学习德国的先进学术来寻找教育救国的方法。

学习先进教育理念和方法：

他希望通过留学德国获得更先进的教育理念和方法，以改革国家的教育体系，从而为国家的发展做出贡献。

个人兴趣和学术追求：

蔡元培对哲学、文学、美学、心理学和文化史等领域有浓厚的兴趣，他数度赴德国和法国留学、考察，研究这些领域的知识，为他致力于改革封建教育奠定思想理论基础。

自费留学：

由于选择了自费留学，蔡元培在生活中遭遇了相当的困难，不得不选择勤工俭学的办法，一边学德语，一边做家庭中文教师，还要为上海商务印书馆编书、译书。

对德国文化的尊重：

蔡元培认为“世界学术德最尊”，因此他执意到德国学习，认为“游学非西洋不可，且非德国不可”。

综上所述，蔡元培留学的原因是多方面的，包括教育救国的理想、学习先进教育理念和方法、个人兴趣和学术追求、自费留学的实际情况以及对德国文化的尊重。