陈真到日本留学的原因主要有以下几点：

资质和武功优秀：

陈真在精武门中资质和武功都是最好的，深得师父霍元甲的真传，因此被派往日本留学深造。

调查师傅死因：

陈真在日本留学一年后得知师傅霍元甲去世的消息，他放弃学业回国，调查师傅的死因，并最终为师傅报仇。

个人发展：

霍元甲看到陈真勤学苦练，已经学会了大量的武功，因此支持他出国深造，以期望他能在武术上有更大的成就。

爱国情怀：

陈真在日本留学期间，因遇到日本留学生对同胞的不公对待，加之其女友山田光子的影响，使他决定留在日本学习，并因此延长了留学时间。他的留学也与他对祖国的热爱和对同胞的保护欲有关。

学习西方先进文化：

霍元甲认为救国除了要增强国民体质外，还应该要学习西方先进文化，因此酬钱送陈真到日本留学，希望他能够吸取西方文化的精华。

综上所述，陈真到日本留学的原因是多方面的，包括他卓越的武学才华、对师傅的深厚感情、个人发展的需要以及爱国情怀等。这些因素共同促使他踏上了留学的道路，并在日本期间取得了显著的成就。