清朝留学生数量之所以众多，主要原因可以归纳为以下几点：

应对国内外挑战：

清朝末期，面对国内外多重压力，包括与西方列强的战争失利和签订不平等条约等，政府认识到需要学习西方的先进科技来强化国力。

政策推动：

清末新政期间，政府大力推动教育改革，鼓励留学，以培养能够适应新时代的人才。1872年，清政府开始派遣幼童留学美国，开启了留学海外的先河。

留学成本较低：

相较于欧美，留学日本成本较低，语言障碍较小，生活和学习成本较低，吸引了大量中国学生。

日本教育的吸引力：

日本在明治维新后迅速发展，通过甲午战争和日俄战争等取得显著成就，其教育体系和科技水平对清朝留学生有较大吸引力。

文化接触与思想觉醒：

留学生在海外接触西方文化，认识到清朝封建制度的落后，回国后积极主张学习西方文化，推动社会制度和经济结构的变革。

清政府政策导向：

清政府支持留学生前往日本留学，既为了学习西方技术维护封建统治，又避免留学生接触西方民主自由思想威胁皇权。

科举制度废除：

科举制度的废除使得传统上升途径受限，出国留学成为有识之士寻求个人发展空间的途径之一。

民间推动：

除了政府的公派留学，民间也有地主资本家自费送子女留学，形成了留学热潮。

综上所述，清朝留学生数量之所以众多，是由于国内外形势的变化、政府的政策推动、留学成本的相对较低、日本教育的吸引力以及个人追求进步和国家发展的多重因素共同作用的结果。