清朝时期，政府共派出了 300多名留学生出国深造。具体派遣情况如下：

向美国派遣的留学生

1872年至1875年间，清政府派出四批共120名幼童赴美国留学。

1911年，大清游美学务处录取了第三批庚款赴美留学生，共63人。

向欧洲派遣的留学生

1876年，李鸿章奏准由福建船厂学生及艺徒30名赴英法两国学习制造与驾驶。

1877年、1881年、1886年、1897年，先后四次派出留英学生三十四名，留法学生四十九名（其中九名艺徒），留德学生两名，共八十五名。

综合以上信息，清朝时期派出的留学生总数约为：

向美国派遣的120名幼童及其后续批次。

向英国、法国和德国派遣的约120名学生。

第三批庚款赴美留学生63人。

因此，清朝时期派出的留学生总数在300多名。