清政府派出的留学生数量如下：

向美国派遣的留学生

1872年至1875年，清政府派出四批共120名幼童赴美国留学。

1909年到1911年间，清政府又向美国派出了180名留学生。

向欧洲派遣的留学生

19世纪70年代至80年代，清政府向欧洲派遣了留学生，其中赴英国学习造船和航海技术的有80余人。

其他批次的留学生

1911年8月，大清游美学务处录取了第三批庚款赴美留学生，共为63人。

综合以上信息，清政府时期派出的留学生总数约为：

向美国派遣的120名幼童及其后续批次（包括180名1909-1911年派出的留学生）

向英国、法国和德国派遣的约120名学生

第三批庚款赴美留学生63人

因此，清政府时期派出的留学生总数在300多名。

建议：派遣留学生是一个重要的教育举措，可以促进国家的现代化进程。清政府时期的留学项目虽然面临诸多挑战，但它们为中国培养了一批优秀的科技人才和学者，对国家的长远发展产生了深远影响。