清朝时期，政府向外派出的留学生数量 总计约为300多名。具体派遣情况如下：

向美国派遣的留学生

1872年至1875年，清政府派出四批共120名幼童赴美留学。

1911年，大清游美学务处录取了第三批庚款赴美留学生，共为63人。

向英国、法国和德国派遣的留学生

1870年代至1880年代，清政府向英国、法国和德国派遣了约120名学生学习造船和航海技术。

其他批次的留学生

1909年，中国留日学生仍有3000多人。

综合以上信息，清朝时期派出的留学生总数约为：

向美国派遣的120名幼童及其后续批次（包括庚款留学生）。

向英国、法国和德国派遣的约120名学生。

1909年留日学生3000多人。

因此，清朝时期派出的留学生总数在300多名。

建议：派遣留学生是一个重要的教育举措，可以促进国家的现代化进程。清政府时期的留学计划不仅培养了一批优秀的科技人才，还为中国近代化建设做出了重要贡献。