清朝时期，政府共派出了 约300名留学生。具体派遣情况如下：

1872年至1875年：

清政府共派出了四批幼童，总计120名，前往美国留学。这些幼童的平均年龄约为12岁，最小的10岁，最大的16岁。他们被送往美国学习数学、生物、机械等学科。最终，只有94名学生被官方公布回国，其余26名学生的去向并没有被官方正式公布。

19世纪70年代至80年代：

清政府还向欧洲派遣了留学生，其中赴英国学习造船和航海技术的有80余人。

1911年：

大清游美学务处录取了第三批庚款赴美留学生，共为63人。

综合以上信息，清朝时期派出的留学生总数约为：

向美国派遣的120名幼童及其后续批次

向英国、法国和德国派遣的约120名学生

第三批庚款赴美留学生63人

因此，清朝时期派出的留学生总数约为300多名。