关于清朝一共派遣了多少留学生的问题，存在不同的说法。综合各种信息来源，可以得出以下结论：

向美国派遣的留学生

1872年至1875年间，清政府派出四批共120名幼童赴美国留学。

1911年8月，大清游美学务处录取了第三批庚款赴美留学生，共为63人。

向欧洲派遣的留学生

19世纪70年代至80年代，清政府还向欧洲派遣了留学生，其中赴英国学习造船和航海技术的有80余人。

其他派遣

清朝还向日本、法国、德国等国家派遣了留学生，具体人数不详。

综合以上信息，清朝时期派出的留学生总数约为：

向美国派遣的120名幼童及其后续批次（包括63名庚款留学生）。

向英国、法国和德国派遣的约120名学生。

其他国家派遣的留学生人数不详，但数量相对较少。

因此，清朝时期派出的留学生总数在300多名。

建议：

派遣留学生是一个重要的教育举措，可以促进国家的现代化进程。

清朝在19世纪70年代至80年代的留学计划，尤其是向美国派遣幼童，为中国培养了近两百名思想开放的顶尖精英。