清朝留学之所以便宜，主要原因可以归纳为以下几点：

学费较低：

例如，早稻田大学当时的学费大约是三十六个银元，而留学欧美一年的学费则可能是白银上千两。

文化接近：

中日两国文化相似，留学生更容易适应日本的生活和学习环境。

政府支持：

清政府为了节省经费开支，对官派留日学生提供了一定的补助，虽然这个补助标准低于留欧美学生，但计算下来，一名留欧美学生的补助可以支持更多学生留学日本。

经济考虑：

清朝财政困难，派遣留学生到日本比到欧美便宜得多。日本的学费和生活费用相对较低，这使得很多家庭条件有限的中国学生也能够负担得起留学费用。

地理位置优势：

日本离中国较近，坐船几天就能到达，而且签证手续简单，这大大降低了留学的难度和成本。

科技水平：

虽然日本在明治维新后迅速学习西方，但其科技水平已经赶上了西方列强，且日本的教育体制中保留了许多封建残余，这对清朝来说更容易接受。

政治需要：

清政府希望通过派遣留学生学习日本的先进技术和经验，以维护自身的封建统治。

实用主义：

清政府认为，学习日本可以更快地获得实用的技术和知识，而不必经过漫长的适应期。

综上所述，清朝留学日本之所以便宜，主要是因为学费低、文化接近、政府支持、经济考虑、地理位置优势、科技水平、政治需要以及实用主义等多方面的原因。这些因素共同作用，使得清朝留学日本成为当时许多学生的首选。