美国在清朝时期推动留学的原因是多方面的，主要包括以下几点：

经济利益：

美国希望通过维持清政府的完整和开放贸易，通过倾销商品获得更多利润。同时，培养亲美人才可以间接控制清朝的发展，从而在商业领域获得持续性的胜利。

政治影响力：

美国认为通过教育中国的年轻一代，可以在精神上获得中国民众的支持，从而增强美国在中国的影响力。这种方式与直接战争相比，更有利于美国在长远中获得更大的利益。

科技和文化渗透：

美国通过派遣留学生和提供奖学金，促进了中国学生接受西方教育，学习科学技术和管理经验。这不仅有助于提升中国的综合实力，还能通过文化和思想的影响，间接控制中国的发展。

应对西方挑战：

面对西方列强的侵略和科技落后，清政府意识到必须学习西方的先进科技来振兴国家。派遣留学生是学习西方科技、培养国家栋梁和推动社会现代化的重要手段。

洋务运动的需求：

洋务派人士如容闳、曾国藩、李鸿章等人提出了派遣幼童赴美留学的计划，希望通过引进西方的科学技术和管理经验，改革中国的教育、军事和工业，从而提高国家的综合实力。

政治与思想妥协：

派遣幼童留学也是与满清上层贵族的一次妥协性政治冒险，通过这种方式来推动教育和社会的进步。

社会观念的转变：

虽然当时许多家庭不愿意孩子远渡重洋留学，但在一些有识之士的推动下，最终促成了这一历史性的举措。

综上所述，美国在清朝时期推动留学，既是为了经济利益和政治影响力，也是为了科技和文化渗透，同时也是应对西方挑战和洋务运动的需求。这一策略不仅有助于提升中国的综合实力，还能通过教育和思想的影响，间接控制中国的发展。