李鸿章出国留学的原因是多方面的，主要包括以下几点：

应对国内外压力：

1840年鸦片战争后，清政府面临多次战争失败和不平等条约的签订，国家处于内忧外患的困境。为了寻求国家的出路，开始学习西方的科技和文化。派遣留学生是实施这一策略的具体举措之一。

学习西方技术：

洋务运动提倡“师夷长技以制夷”，即通过学习西方的先进科技来强化国力。派遣留学生是实施这一策略的具体举措之一。

培养外交人才：

由于清政府与西方列强的交流增多，语言和文化障碍成为外交上的难题。派遣留学生可以培养外语人才，加强对外沟通。

军事现代化：

李鸿章认识到海防的重要性，并意识到仅靠船舰无法强大海防，需要培养精通相关技术的人才。

实现富国强兵：

派遣留学生旨在学习西方的先进军事技术，以增强清政府的统治实力和军事现代化。

适应国家近代化需要：

随着国家近代化的推进，需要更多掌握现代知识的人才来推动国家的进步和改革。

洋务运动的推动：

李鸿章是洋务运动的积极推动者，洋务运动旨在引进西方科技，强化国家实力，以应对外来威胁。

访问美国的经历：

1896年，李鸿章访问美国，并受到了极大的震撼，原因在于他意识到西方科技的重要性，并希望通过学习西方的先进知识和技术来改变清政府的命运。

平衡国际关系的考虑：

李鸿章还考虑到与美国建立良好关系可以平衡其他国家对中国的瓜分，从而保护中国的利益。

认识到人才的重要性：

李鸿章认识到人才对于国家发展的重要性，希望通过派遣留学生到西方国家学习，引入西方的先进知识和技术，以强化国力。

综合以上原因，李鸿章出国留学是为了通过学习西方的先进科技和文化，来应对国家的危机，实现国家的自强和现代化。