多个部门共同负责就业工作。具体来说，就业工作由以下部门共同承担：

国务院就业工作领导小组：

作为国务院的议事协调机构，负责统筹协调全国就业工作，研究解决就业工作中的重大问题，审议拟出台的就业工作法律法规、宏观规划和重大政策，部署实施就业工作改革创新重大事项，督促检查就业工作有关法律法规和政策措施的落实情况，以及完成党中央、国务院交办的其他事项。

人力资源社会保障部：

作为国务院就业工作领导小组的领导小组办公室，承担领导小组的日常工作，负责制定和实施就业政策，促进就业增长和稳定，提供就业服务和培训，维护劳动者权益等。

各级地方人社局及其人才中心：

负责制定本行政区域内的就业政策，提供就业指导和服务，组织招聘活动，统计就业数据等。此外，高校毕业生的就业指导和服务工作由各级教育局和人力资源和社会保障局共同负责。

毕业院校的就业办：

负责毕业生的就业指导、就业信息发布、档案管理等工作。虽然其职责有所转变，但在某些情况下仍参与毕业生的就业分配和管理。

综上所述，就业工作由多个部门共同负责，包括国务院就业工作领导小组、人力资源社会保障部、各级地方人社局及其人才中心，以及毕业院校的就业办等。这些部门按照各自的职责分工，共同促进就业工作的开展。