就业失业登记机构是 公共就业服务机构。具体来说，失业登记应当在指定的公共就业服务机构办理，这通常是户籍所在地的劳动保障服务中心。此外，公共就业服务机构还负责办理就业登记、失业登记等事务，并为劳动者免费提供就业政策法规咨询、职业供求信息、市场工资指导价位信息和职业培训信息发布、职业指导和职业介绍等服务。

失业人员办理失业登记时，需要提供以下材料：

1. 本人户口簿（非本地户籍人员需提供暂住证、居民身份证和《就业失业登记证》）。

2. 二寸近期免冠照片2张。

3. 本人失业前所在单位出具的终止或解除劳动合同的证明。

4. 省（自治区、直辖市）级劳动和社会保障行政部门规定的其他材料。

建议失业人员提前了解当地公共就业服务机构的具体地址和所需材料，以便顺利办理失业登记。