数学专业留学选择国家和院校时，可以考虑以下几个关键点：

世界QS排名

美国：麻省理工学院、斯坦福大学、哈佛大学、普林斯顿大学等。

英国：剑桥大学、牛津大学。

瑞士：苏黎世联邦理工学院。

法国：巴黎高等师范学院。

德国、新加坡、日本、中国香港等地也有不错的数学研究机构。

个人条件、兴趣偏好和未来职业发展规划

成绩优秀的学生可以考虑申请美国顶尖的数学院校，如麻省理工学院、斯坦福大学等。

对数学传统和研究成果有浓厚兴趣的学生，英国的剑桥大学和牛津大学是理想选择。

希望在较低学费下接受高质量教育的学生，可以考虑瑞士的苏黎世联邦理工学院和法国的巴黎高等师范学院。

学术资源

美国的顶尖大学通常拥有雄厚的师资力量和先进的研究设备，提供更多的研究课题和合作机会。

英国的剑桥大学、牛津大学等也有丰富的数学资源和研究成果。

语言能力

英语授课的学校需要准备雅思或托福考试，争取达到目标分数（如雅思7.0以上，托福100分以上）。

其他语言授课的学校也需要相应地参加语言水平测试并取得优异成绩。

科研与学术活动

积极参与本科院校的科研项目，争取发表论文，参加数学学术讲座和研讨会，拓展学术视野。

经济条件

美国的留学费用较高，需要家庭经济条件能够承担。

英国、瑞士、法国等地的学费相对较低，也是经济条件有限学生的较好选择。

建议

明确目标：根据自己的兴趣和职业规划，明确想要留学的国家和院校。

提前准备：提前1-2年开始准备，包括语言学习、科研经历、学术成绩优化等。

多方面评估：综合考虑各个因素，如院校排名、专业方向、课程设置、教授资源等。

积极参与：多参与数学相关的课程、科研项目和学术活动，提升自己的竞争力。

通过以上步骤，可以更全面地评估和选择适合自己的数学专业留学路径。