当一位母亲出国留学并希望离婚时，可以选择协议离婚或诉讼离婚两种方式。以下是详细的步骤和注意事项：

协议离婚

准备材料

身份证

户口证明

离婚协议书

结婚证

申请离婚登记

双方应共同到一方户籍所在地或出国前户籍所在地的婚姻登记机关申请离婚登记。

冷静期

确认符合法律规定后，需经过一段为期30天的冷静期，方可领取离婚证书。

诉讼离婚

准备材料

护照

离婚协议书

结婚证

如有必要，还需提供国外财产相关证据。

选择管辖法院

如果一方在国外定居，其配偶在国内，则国内配偶所在地的法院有管辖权。

如果一方在国外没有定居，其配偶在国内，则由国内配偶所在地的法院管辖。

提交诉讼材料

向具有管辖权的法院的立案庭递交相关诉讼材料。

法院调解和审理

法院会先进行调解工作，如调解无果，将进入正式的开庭审理环节，对离婚案件进行全面评估和判断。

判决

在确认夫妻感情确实已经破裂的情况下，法院将会批准离婚请求，并作出相应的离婚判决。

其他注意事项

公证和认证：

如果需要委托国内亲友或律师代理，需要办理授权委托书，并经过公证和认证。

子女抚养权和访问权：

在离婚申请中应明确孩子的监护权、抚养权和访问权。如果双方对子女的抚养有争议，可能需要通过法院解决。

财产分割：

如果涉及国外财产，需要提供相关证据，并可能需要通过两国之间的司法协助协议来查证和处理。

根据以上步骤和注意事项，母亲可以根据自身情况选择合适的离婚方式，并确保所有手续符合法律规定。建议在办理离婚手续前，咨询专业律师以获取更详细的法律建议。