双曲线是 平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距，焦距的一半长度称为半焦距。双曲线是常见的一类圆锥曲线，可以由一个不通过直圆锥面的顶点的平面去截取圆锥体的两个叶得到。

双曲线的标准方程有两种形式：

1. 当两焦点在X轴上且关于原点对称时，标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$。

2. 当两焦点在Y轴上且关于原点对称时，标准方程为 $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$。

双曲线的离心率 $e$ 定义为 $e = \frac{c}{a}$，其中 $c$ 是焦距的一半，$a$ 是实半轴的长度。双曲线的两个分支具有不同的性质和应用，例如在光学系统中的折射和反射、电磁波的传播以及天体运动等方面都有广泛的应用。