陈真出国留学的原因主要有以下几点：

资质和武功优秀：

陈真在精武门中资质和武功都是最好的，深得师父霍元甲的真传，因此被派往日本留学深造。

调查师傅死因：

陈真在日本留学一年后得知师傅霍元甲去世的消息，他放弃学业回国，调查师傅的死因，并最终为师傅报仇。

个人发展：

霍元甲看到陈真勤学苦练，已经学会了大量的武功，因此支持他出国深造，以期望他能在武术上有更大的成就。

爱国情怀：

陈真在日本留学期间，因遇到日本留学生对同胞的不公对待，加之其女友山田光子的影响，使他决定留在日本学习，并因此延长了留学时间。他的留学也与他对祖国的热爱和对同胞的保护欲有关。

完成师父的志愿：

陈真到日本留学深造是为了能够将师父霍元甲的霍家刀法发扬光大。

学习先进技术：

20年代末，陈真到日本学习先进的技术，以提升自己的武功水平。

应对挑战：

在电影《精武英雄》中，陈真在日本留学时，因日本留学生的挑衅而与之发生冲突，展现了他的武勇。

与山口由美结识：

陈真在日本留学期间，结识了日本女孩山口由美，两人逐渐产生了感情，并准备结婚。霍元甲为了让陈真学到更多的东西，特意安排他到日本留学，这也在一定程度上促成了他们的相识。

综合以上几点，陈真留学日本主要是为了完成师父的志愿，学习先进技术，并与山口由美结识。同时，他的留学也受到了个人发展、爱国情怀和应对挑战等因素的影响。