根据提供的信息，我们可以整理出淮安公办初中的数量。

洪泽区

洪泽外国语中学（民办）

淮安市洪泽实验中学

淮安市洪泽育才实验学校（原洪泽区汉开书院学校）

洪泽湖初级中学（原洪泽区新区中学）

开发区

淮安市徐杨中学

淮安经济技术开发区开明中学教育集团枚乘中学（原淮安经济技术开发区启明中学）

清江浦区

江苏省淮阴中学开明分校（老开）

淮阴中学教育集团清河开明中学（清开）

淮安市启明外国语中学（清中初中部）

淮安市北京路中学

浦东实验学校（清浦中学初中部）

淮安市成志中学（淮安市第一初级中学）

淮阴区

江苏省淮州中学

江苏省淮海中学

淮安区

江苏省淮安中学

综合以上信息，淮安的公办初中数量如下：

洪泽区：3所（洪泽实验中学、洪泽育才实验学校、洪泽湖初级中学）

开发区：2所（徐杨中学、枚乘中学）

清江浦区：6所（淮阴中学开明分校、清河开明中学、启明外国语中学、北京路中学、浦东实验学校、成志中学）

淮阴区：2所（淮州中学、淮海中学）

淮安区：1所（淮安中学）

总计：3 + 2 + 6 + 2 + 1 = 14所

因此，淮安的公办初中共有14所。