出国留学时，父子关系的证明通常通过以下步骤进行：

户口本和身份证：

首先，需要携带申请人的户口本和身份证到户口所在地的派出所或社区开具亲属关系证明。

公证：

将户口本和身份证的复印件以及亲属关系证明带到县里的公证处进行公证。公证费用一般在180-250人民币之间，具体费用以当地公证处收费为准。

出生证明：

如果申请人及其父亲的户口不在同一户口本上，还需要提供孩子的出生证明（医院开具，上面会有父亲母亲的名字）。

无犯罪记录证明：

有时还需要到当地公安局开具无犯罪记录证明，以证明申请人与其父亲之间的亲属关系。

翻译件：

所有提交的材料都需要有翻译件，尤其是财产方面的翻译，建议由有资质的翻译公司进行翻译，并由公证处进行公证。

同意信：

在申请签证时，可能需要提供一份同意信，表明父亲同意资助全额的留学费用。

其他辅助材料：

根据具体公证处的要求，可能还需要提供其他辅助材料，如委托他人代为办理公证的授权委托书等。

建议在办理这些手续前，先向当地的市一级公证处或相关机构咨询具体要求和流程，以确保材料的准确性和完整性。