中国古代的出国留学方式主要包括以下几种：

使节出行：

古代国家之间派遣使节进行外交活动，这些使节通常是官员或专门的外交使者，他们带着国家的使命前往其他国家进行谈判、结盟或进贡等活动。使节出行是古代最主要的出国方式之一。

商贸往来：

随着丝绸之路的开通，商贸成为古代出国的重要途径。商人会带着货物穿越沙漠、翻越山脉，前往其他国家进行贸易。这种商贸往来不仅促进了物质文明的交流，还带动了文化的传播。

求学与传播知识：

有些学者为了求学而赴其他国家，学习当地的文化、知识和技术，然后将其带回国内。同时，也有一些学者会受邀前往其他国家讲学，传播自己的知识和思想。

宗教传播：

宗教信仰是古代出国的另一个重要原因。僧侣和传教士会为了传播宗教而前往其他国家，建立寺庙、教堂等宗教场所，发展信徒。宗教传播对古代国际文化交流产生了深远影响。

移民与避难：

由于战乱、自然灾害等原因，一部分人会离开自己的国家，前往其他国家寻求庇护。这种移民和避难的方式也是古代人出国的一种途径。

官方派遣：

在唐朝时期，政府开始鼓励并支持本国学者和学生到外国进行留学。这些留学的学者和学生通过学习和交流，将外国文化的精髓带回国内，为唐朝的文化繁荣和社会进步做出了重要贡献。唐朝的留学生主要前往印度和日本进行留学。

质子制度：

唐代招留学生源于质子制度，帝王、军阀会将子女、妻子等近亲送往敌国当人质。早期到唐朝的新罗留学生都是“宿卫学生”，负责宫廷保卫工作，且在重大朝会时充任仪仗。

自费留学与公费留学：

古代来华留学有自费生（民间）与公费生（公派）之分，但绝大多数是政府公派留学生。早期来华的留学生大多为“高干子弟”或“富家公子”一类，有志于学习的外国寒门弟子是没有机会来华学习和深造的。

宗教人士：

一些宗教人士，如僧侣和传教士，为了传播宗教而前往其他国家，建立寺庙、教堂等宗教场所，发展信徒。

近代留学：

中国近代留学教育最早可追溯到19世纪40年代后期，当时容闳、黄胜、黄宽三人随西方传教士布朗赴美留学。留学教育的真正兴起是在洋务运动时期，分为社会底层家庭为主体和士绅家庭为主体的两个阶段。

这些方式反映了古代中国人出国留学的多样性和复杂性，涵盖了外交、商贸、学术、宗教、移民等多个方面。