余式，也称为余数，是在 除法运算中，被除数除以除数所得的余数。具体来说，如果我们有一个被除数（代数式）除以一个除数（代数式），无法整除时，剩下的部分就是余式。余式在数学中有着广泛的应用，特别是在多项式除法中。

例如，考虑多项式除法：

\[ （x^3 + x^2 + 1） \div （x - 1） \]

通过长除法或合成除法，我们可以得到：

\[ （x^3 + x^2 + 1） = （x - 1）（x^2 + 2x + 1） + 3 \]

在这个例子中，余式是3。

余式定理告诉我们，当一个多项式 \（ f（x） \） 除以一线性多项式 \（ （x - a） \） 时，余式是 \（ f（a） \）。例如，对于上面的多项式除法，余式定理可以验证：

\[ f（x） = x^3 + x^2 + 1 \]

\[ g（x） = x - 1 \]

\[ f（1） = 1^3 + 1^2 + 1 = 3 \]

因此，余式是3，与通过长除法得到的结果一致。

总结：

余式是在除法运算中，被除数除以除数所得的余数。

余式在多项式除法中有着重要的应用。

余式定理提供了一种快速计算余式的方法，即直接将被除数代入除数中求值。