初中竞赛中常用的数学公式包括：

一次函数

斜率 $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

截距 $y = mx + b$，其中 $b$ 是 $y$ 轴的截距

二次函数

顶点坐标 $（h, k）$，其中 $h = -\frac{b}{2a}$，$k = f（h） = f\left（-\frac{b}{2a}\right）$

判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$

圆

标准方程 $（x - a）^2 + （y - b）^2 = r^2$，其中 $（a, b）$ 是圆心，$r$ 是半径

一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，可变形为 $\left（x + \frac{D}{2}\right）^2 + \left（y + \frac{E}{2}\right）^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$

参数方程 $x = a + r\cos\theta$，$y = b + r\sin\theta$，其中 $\theta$ 为参数

代数公式

完全平方公式 $（a \pm b）^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$

平方差公式 $（a + b）（a - b） = a^2 - b^2$

立方和公式 $（a \pm b）（a^2 - ab + b^2） = a^3 \pm b^3$

多项式平方公式 $（a + b + c + d）^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd$

二项式定理 $（a \pm b）^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$

几何定理

多边形内角和定理：$n$ 边形的内角和等于 $（n - 2） \times 180^\circ$

等腰梯形性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等

等腰梯形的两条对角线相等

直角三角形的基本定理：$a^2 + b^2 = c^2$（勾股定理）

三角不等式

$|a + b| \leq |a| + |b|$

$|a - b| \leq |a| + |b|$

$|a| \leq |b| - |a| \leq b \leq a \leq b$（在三角形中，必然有两边之和大于第三边）

这些公式是初中数学竞赛中的基础，掌握这些公式对于提高竞赛能力非常有帮助。建议同学们在平时学习中加强对这些公式的记忆和应用练习。