基础数学留学方向主要包括以下几个方面：

理论数学

代数学：研究抽象代数结构，如群、环、域等。

分析学：包括实分析、复分析、泛函分析等，研究函数的性质和结构。

拓扑学：研究空间的性质和分类，如紧致性、连通性等。

几何学：研究空间、形状和变换，如微分几何、拓扑几何等。

数论：研究整数的性质和结构，如素数、因数分解等。

逻辑学：研究推理和证明的理论，如命题逻辑、谓词逻辑等。

微分方程理论：研究函数与其导数之间的关系，包括常微分方程和偏微分方程。

偏微分方程：研究多个自变量和因变量之间的复杂关系。

应用数学

运筹学和优化理论：研究如何通过数学模型和算法进行决策和优化。

微分方程和动力系统：研究动态系统的性质和行为，如稳定性、相变等。

随机系统和控制理论：研究随机现象和系统的控制方法。

精算和金融数学：应用数学理论解决保险、金融等领域的问题，如风险评估、资产定价等。

数学物理：应用数学工具解决物理问题，如量子力学、统计力学等。

生物数学：应用数学方法研究生物学问题，如基因调控、生态系统建模等。

概率论和统计：研究数据的收集、整理、分析和解释，包括参数估计、假设检验等。

统计与运筹（IEOR）

结合统计方法和运筹学，应用于项目管理和工程建造等领域。

精算

以概率论和统计为核心，应用于金融尖端领域，尤其是保险和风险控制。

金融数学

结合数学和金融知识，应用于金融领域，如风险管理、资产定价等。

其他相关专业

数据科学：利用数学和统计方法分析、挖掘大量数据，为决策提供支持。

信息与计算科学：关注计算机科学中的数学问题，如算法、数据结构等。

商业分析：结合数学、计算机、统计、工程、经济学和金融等领域，进行定量分析。

建议

选择方向：根据个人兴趣和职业规划选择合适的方向，理论数学适合科研或教育，应用数学和统计适合就业。

准备考试：GRE数学专项考试是申请美国硕士或博士的重要参考，建议提前准备。

实习和项目：通过实习和科研项目积累实际经验，提升自己的竞争力。

选择学校：参考U.S.News等排名，选择在自己感兴趣方向上有优势的学校。