霍元甲送陈真留学的原因主要有以下几点：

资质和武功优秀：

陈真在精武门中资质和武功都是最好的，深得师父霍元甲的真传，因此被派往日本留学深造。

调查师傅死因：

陈真在日本留学一年后得知师傅霍元甲去世的消息，他放弃学业回国，调查师傅的死因，并最终为师傅报仇。

个人发展：

霍元甲看到陈真勤学苦练，已经学会了大量的武功，因此支持他出国深造，以期望他能在武术上有更大的成就。

爱国情怀：

陈真在日本留学期间，因遇到日本留学生对同胞的不公对待，加之其女友山田光子的影响，使他决定留在日本学习，并因此延长了留学时间。他的留学也与他对祖国的热爱和对同胞的保护欲有关。

学习先进技术：

霍元甲认为救国除了要增强国民体质外，还应该要学习西方先进文化，遂酬钱送陈真到日本留学。在日本期间，陈真不仅学习武学，还吸取了空手道、柔道的优点，与自身的武学融会贯通。

完成师父的志愿：

陈真到日本留学深造是为了能够将师父霍元甲的霍家刀法发扬光大。

应对挑战：

在电影《精武英雄》中，陈真在日本留学时，因日本留学生的挑衅而与之发生冲突，展现了他的武勇。

精武门的发展：

霍元甲或许是为了在精武门集团中进一步重用陈真，特意安排他到日本留学。

综上所述，霍元甲送陈真留学的原因是多方面的，包括陈真的资质和武功优秀、学习先进技术、完成师父的志愿、爱国情怀以及精武门的发展等。这些因素共同促成了陈真的留学之旅，并在他学成后为他的人生轨迹产生了深远的影响。