根据现有信息，杭州市私立初中的数量需结合不同分类标准综合说明：

民办初中数量

根据2015年数据，杭州有20所民办初中，但部分学校存在性质变化（如启正中学、观城中学独立招生）。

2024年新增学校（如杭州仁和外国语学校）及独立招生学校（如杭州二中白马湖学校）进一步增加，但具体数量需以最新官方公告为准。

知名民办初中

重点学校：

建兰中学、文澜中学、育才中学、启正中学、采荷实验中学等长期处于杭州民办教育前列。

特色学校：包括外国语学校（如杭州外国语学校）、国际学校（如世外学校）、艺术特色学校（如杭州橄榄树学校）等。

其他说明

不同排名榜单（如上城区重点中学排名）可能因评价标准差异，对民办中学的收录范围和排序存在不同结论。

建议家长根据具体需求（如地理位置、办学特色、招生政策等），结合最新官方招生计划和学校公示信息综合选择。

注：以上信息综合自2015-2024年公开数据，部分学校性质或规模可能已发生变化，建议通过杭州市教育局官网或学校官方渠道获取最新动态。