核查就业材料的部门主要包括 教育部全国高校学生信息咨询与就业指导中心、 地方和高校的就业部门、 各级劳动保障部门，以及 高校的就业创业指导中心或相关职能部门。具体如下：

教育部全国高校学生信息咨询与就业指导中心：

该中心负责向已就业高校毕业生发送手机短信，提醒毕业生及时登录“学信网”查询本人就业状况，并指导地方和高校开展自查，严格审核每位毕业生的就业材料。

地方和高校的就业部门：

地方和高校会开展自查，严格审核每位毕业生的就业材料，重点核实灵活就业等相关数据，有关纸质或电子材料在校级就业部门存档备查。

各级劳动保障部门：

对企业吸纳下岗失业人员的认定程序进行严格核查，包括核查企业是否与下岗失业人员签订了1年以上期限的劳动合同、是否缴纳社会保险费等。

高校的就业创业指导中心或相关职能部门：

负责实施就业核查工作，确保毕业生的就业材料真实、规范、有效，并进行汇总分析，用于学校的管理和教学评估。

综上所述，核查就业材料的部门涉及多个层面，从国家层面的教育部到地方和高校的就业部门，再到劳动保障部门，以及高校的就业创业指导中心或相关职能部门，共同确保就业材料的真实性和规范性。