何碧玉的留学经历如下：

考入清华大学 ：何碧玉在14岁时以750分的高考成绩成为河南省的理科状元，并顺利进入清华大学生物科学与技术系学习。

获得公费留学机会：

2004年，清华大学为优秀毕业生提供公费留学的机会，何碧玉选择前往美国圣路易斯华盛顿大学攻读神经科学博士学位。

在美国的学习与工作

圣路易斯华盛顿大学：

何碧玉在圣路易斯华盛顿大学用五年时间获得神经科学博士学位。

美国国立卫生研究院：获得博士学位后，何碧玉进入美国国立卫生研究院工作，深入研究神经科学。

纽约大学医学中心：2016年，何碧玉加入纽约大学医学中心神经科学研究所，担任助理教授，开始带领自己的团队。

学术成就：

何碧玉在美国期间发表了多篇高水平学术论文，成为神经科学领域的佼佼者，并赢得了美国国立卫生研究院的独立研究员职位。

综上所述，何碧玉通过优异的学业成绩获得清华大学公费留学的机会，前往美国深造，并在神经科学领域取得了显著成就。她先后在圣路易斯华盛顿大学、美国国立卫生研究院和纽约大学医学中心工作，成为该领域的佼佼者。