宋祖儿选择出国留学的原因主要有以下几点：

对美国文化的向往：

宋祖儿从小就通过观看美国影视剧，如《暮光之城》和《破产姐妹》，对美国文化产生了浓厚的兴趣。这些作品激发了她对美国的向往，使她在初中毕业后决定去美国留学。

数学成绩的不佳：

宋祖儿在数学成绩上表现不佳，而她的语文成绩却非常好。这种偏科的情况使她更倾向于选择一个能够发挥自己语文优势的环境，而美国的教育体系在这方面可能更适合她。

独立自主的愿望：

宋祖儿从小就表现出很强的独立意识，她希望去美国接触不同的文化，体验独立生活。尽管家人最初并不支持，但在她的坚持和努力下，最终获得了家人的同意。

追求更好的教育：

宋祖儿可能认为美国的教育资源和学术环境能够为她提供更好的成长机会，有助于她实现自己的梦想。

综上所述，宋祖儿出国留学的原因主要是出于对美国文化的向往、数学成绩的不佳以及独立自主的愿望。她在家人支持下，克服了种种困难，最终成功实现了自己的留学梦想。