根据提供的信息，姜堰区的民办初中包括：

私立荣汉初级中学 （已更名为“泰县姜堰中学”）：成立于1940年，为纪念捐资办校的蔡荣汉先生而得名。1942年改名为存容学塾，1947年恢复荣汉初中之名。1951年与苏北溱潼初级中学并迁入现址，1956年增设高中部，更名为“泰县姜堰中学”。

姜堰五中：

创建于1905年，是姜堰市校史最长的完全中学。1952年由人民政府接办，命名为姜堰市第五中学。

励才实验中学：

位于苏中地区，是一所名校，虽然学费极高，但办学质量高。

泰州市姜堰区美术学校（十多年来，姜堰区艺术中学几经搬迁，几易其址，数度调整，砥砺出“静思笃行､持中秉正”的校训，孕育了“严谨､勤奋､求是､创新”的优良校风，形成了“以人为本，面向社会”的办学理念和“以人为本，特色彰显”的育人思想，教育教学质量稳步提高）。

江苏泰兴技工学校（江苏省泰兴市技工学校创办于一九九零年，先后被评定为“全省省重点就业训练中心”､“江苏省省级重点技工学校”､“江苏省创业培训基地”､“江苏省职业教育实训基地”､“泰州市职业教育先进单位”）。

实验初中。

城西实验学校初中部。

姜堰四中。

南苑学校初中部。

梁徐初中。

王石初中。

桥头初中。

姜堰市第一中学。

姜堰市第二中学。

姜堰市第三中学。

姜堰市实验中学。

姜堰市张甸初级中学。

江苏省姜堰市第二中学附属初级中学。

姜堰区蒋垛中学。

综上所述，姜堰区至少有上述20所民办初中。建议您根据最新的教育政策和学校信息进行确认，因为学校的情况可能会有变化。